Jack Fowler og lineær-kvadratisk (LQ)-modell

I mine to foregående artikler har jeg redegjort for empiriske modeller for effekt av fraksjonert strålebehandling, og deres opphavsmenn (1, 2). Fowler anførte at den viktigste innvending mot empiriske modeller er at formelverket avsporer klinikeren fra å tenke på hvilke biologiske faktorer om egentlig er involvert (3). Fowler har vært en foregangsmann i å anvende LQ-modellen til forbedring av strålebehandling av er rekke kreftsykdommer og regnes som en av grunnleggerne av moderne kliniske radiobiologi. I denne artikkelen vil jeg redegjøre for LQ-modellens opphav og utvikling.

---

JAN FOLKVARD EVENSEN, Onkolog, dr. med., Oslo universitetssykehus, Radiumhospitalet

---

Jack Fowler (formelt Professor John Francis Fowler, 1925-2016, Fig. 1) var primært utdannet fysiker ved University of London (BSc 1944, MSc 1946, PhD 1955). Han spesialiserte seg i medisinsk fysikk hos Frank Farmer i Newcastle, en pioner hva gjaldt å anvende fysikk i medisinsk vitenskap. Han er mest kjent for utvikling av nøyaktige dosimetre. Etter Newcastle arbeidet Fowler i London hvor han ble professor i medisinsk fysikk ved Hammersmith Hospital. Ved Cyclotron Unit her fikk han mulighet til radiobiologisk forskning med hurtige nøytroner og alfapartikler, med søkelys på oksygeneffekt. Senere ble han direktør for Gray Laboratory ved Mount Vernon Hospital, en posisjon han hadde i 18 år. Laboratoriet ble etablert av Louis Harold Gray i 1953. Tiden ved Mount Vernon ble meget produktiv og resulterte i en rekke publikasjoner i samarbeid med Adrian Begg, Julie Denekamp, Mike Joiner og Fiona Stewart, for å nevne noen. Alle sentrale bidragsytere til klinisk radiobiologi. Man kan godt si at Fowler i likhet med Eric Hall gjennomgikk en metamorfose fra fysiker til radiobiolog (2).

Fowlers interesse for fraksjonering ble tent da han hjalp Frank Ellis (2) med å sette opp to fraksjonerings protokoller for British Institute of Radiology på 1960 – 70 tallet, én angående 3 versus 5 fraksjoner per uke, den andre angående varierende total behandlingstid. Så, på begynnelsen av 80-tallet skjedde det et paradigmeskifte når det gjelder forklaringsmodeller for effekt av fraksjonering på normalvev og svulster. Sentrale bidragsytere var Fowler og ikke minst gruppen i Houston med Howard Thames i spissen. Gradvis ble Ellis formel med dens avledede formelverk erstattet av LQ-modellen. Denne la særlig vekt på dose per fraksjon så vel som antall fraksjoner, og etter hvert tid til start av repopulasjon av klonogene tumorceller.

Jeg husker godt denne tiden: satt ofte og regnet på effekt med utgangspunkt i både NSD/CRE-formelverk og LQmodell.

To meget sentrale samarbeidspartnere for Jack Fowler og Julie Denekamp var klinikerne Stanley Dische og Michelle Saunders ved Mount Vernon Hospital. CHART (Continuous Hyperfractionated Accelerated RadioTherapy) – studien var et resultat av dette samarbeidet. Studien la mye grunnlaget for hva vi i dag vet om sammenhengen mellom dose, fraksjonering og behandlingstid.

Med vevskulturteknikk er det mulig å studere cellers overlevelse som funksjon av stråledose. Overlevelseskurvene fra slike forsøk viser at det ikke er systematiske forskjeller i strålefølsomhet mellom kreftceller og normale celler. F.eks. er SF2 (overlevelsesfraksjon etter 2 Gy) tilnærmet lik for plateepitelkarsinomceller og fibroblaster. Stråleterapi kan derfor ikke alene baseres på at kreftceller er mer strålefølsomme enn normale celler. Snarere kan det motsatte være tilfelle, idet selv små svulster vil inneholde en viss andel hypoksiske celler som kan være inntil 3 ganger mer stråleresistente enn normalt oksygenerte celler. Når det likevel er mulig å «fjerne» en svulst med bibehold av omkringliggende normalvev, så skyldes det forskjeller i cellekinetikk mellom de to populasjoner. Denne forskjell kommer til uttrykk ved å fraksjonere strålebehandlingen og skyldes det vi kaller radiobiologiens 5 R’er: Repair, Redistribution, Repopulation, Reoxygenation, Radiosensitivity. Hvordan disse fem prosesser influerer på strålerespons, vil avhenge av vevstype. Det er vanlig å klassifisere vev i tre hovedtyper: (1) tidlig responderende normalvev (epitelialiserte overflater og det hematopoetiske system), (2) sent responderende normalvev (nervevev, underhud og nyrer) og (3) svulster i sin alminnelighet. De fleste svulster er tidlig responderende, men viser ellers stor variasjon.

For å kunne beregne effekt av stråling på forskjellige vev må man kjenne til sammenhengen mellom stråleskade på cellulært nivå og vevsnivå. Targetcelle-hypotesen postulerer at vevets strålerespons gjenspeiler hvor mange celler som er berørt, fortrinnsvis celler med regenerasjonspotensiale. Disse celler har man kalt targetceller (målceller). Endringer i vevets respons som følge av endringer i f.eks. fraksjonering, strålekvalitet og grad av vevs oksygenering vil derfor være relatert til targetcellenes sannsynlighet for å overleve. Hos mus er det f.eks. en nær relasjon mellom død som følge av akutt intestinalt strålesyndrom og epitelial skade i tynntarm.

Targetcelle-hypotesen har stått meget sentralt i utforming av LQ-modellen. Enkelte senere radiobiologiske studier har imidlertid avdekket forhold som hypotesen vanskelig forklarer, f.eks. «bystander effect», det at ikke-bestrålte celler uttrykker samme effekter (kromosomaberrasjoner, celledrap, mutasjoner, onkogen transformasjon, forandret genuttrykk) som nærliggende bestrålte celler. Effekten antas bl.a. å skyldes cytotoksiske molekyler som frigjøres av bestrålte celler. Dette til tross, LQ-modellen står fortsatt støtt til alle «praktiske formål».

Kritikken mot NSD og avledete formelverk kan samles i tre punkter: 1) Potensformelverkt er basert på misforståelsen om at normalvev (hud) og svulstvev (plateepitelkarsinom) er karakterisert ved forskjellige tidsfaktorer, 2) det statistiske grunnlaget for bestemmelse av formelverkets eksponenter er for dårlig og 3) forskjellige normalvev kan ikke beskrives ved de samme eksponenter (dette er nærmere redegjort for i referanse 2).

I motsetning til NSD-formelverket som er basert på registrering av kliniske parametere, så tar den moderne tilnærming til isoeffektberegninger utgangspunkt i overlevelseskurver for celler. Kurvene framkommer ved å gi et kjent antall enkeltceller graderte doser av stråling for deretter å telle antall kolonier de overlevende celler gir opphav til. Kurvene som framkommer (overlevelsesfraksjon (S) versus dose (D)), vil i et semilogaritmisk diagram være karakterisert ved en initial skulder etterfulgt av en (nesten) rett linje. Det har vært vanlig å beskrive slike kurver matematisk, for deretter å gi matematikken et biologisk innhold. Treffteorien (The Hit Theory) er den eldste og samtidig mest illustrerende teori for å beskrive dose-responskurver ved bestråling. Teorien er basert på to fysiske observasjoner og et postulat, nemlig at (1) ioniserende stråling overfører energi i kvanter, (2) vekselvirkningene skjer uavhengig av hverandre og (3) den observerte respons inntreffer når ett eller flere mål (targets) er truffet et gitt antall (n) ganger (4). Med økende grad av kompleksitet, fra «single-target, single-hit» til «multi-target, multi-hit», kan de mest kompliserte overlevelseskurver beskrives. For senere bruk kan det være nyttig å se litt på matematikken i det enkleste tilfellet: «single-target, single-hit». I dette tilfelle vil den observerte respons inntreffe hver gang et gitt mål treffes én gang. Hvis det er celleoverlevelse man studerer, så vil overlevelseskurven i et semilogaritmisk diagram bli en rett linje med negativ vinkelkoeffisient. Analogt til de tidligere nevnte Strandqvistkurver (1) kan formelen for denne kurven skrives ln S = ln (N/ N₀) = -k D, som igjen kan omskrives til S = (N/N₀) = e ^{-k D} = exp (-k D). N er antall overlevende celler etter at N0 celler er bestrålt med dosen D. Antall overlevende celler N fås da ved å multiplisere overlevelsesfraksjonen S med antall bestrålte celler N₀ (N = N₀ S).

Treffteorien er velegnet til å beskrive og sammenlikne overlevelseskurver, men har ingen biologisk basis. Vi vet nå at den vanligste stråleinduserte celledød er en mitotisk død, dvs. skade som påføres cellen i hvile eller interfase kommer først til uttrykk når cellen forsøker å dele seg, og at celler er utstyrt med mekanismer for reparasjon av stråleindusert skade. Apoptose er beskrevet som mulig mekanisme for stråleindusert celledrap. Dette er imidlertid uttalt avhengig av celletype. Hematopoetiske og lymfoide celler er spesielt utsatt for rask stråleindusert celledød ved apoptose, mens tumorceller oftest avgår ved en stråleindusert mitotisk død.

Det har vært noe varierende oppfatning om LQ-modellens opphav. Yaes og medarbeidere (5) skriver at LQ-modellen var «originally proposed by physicists on the basis of the microdosimetry of energy deposition in tissue, and was subsequently used by radiobiologists to fit both in vitro and in vivo data». LQmodellen har imidlertid sitt rotfeste i radiobiologisk teori, noe som skiller den klart fra empiriske modeller som NSD-TDF og CRE. Basert på en mekanistisk analyse av stråleinduserte kromosomaberrasjoner i Tradescantia sporer kom Lea og Catcheside fram LQ-formelen (6). Kromosomaberrasjoner framkommer ved at strålingen lager brudd i kromosomarmene. Frekvensen F(1) av enkle kromosombrudd (én-treff aberrasjoner) er lineært relatert til stråledosen D, dvs. F(1) = αD. Sannsynligheten for to-treff aberrasjoner er lik sannsynligheten for ett treff multiplisert med sannsynligheten for ytterligere et treff. I overenstemmelse med dette er frekvensen F(2) av kromosomaberrasjoner som krever to brudd (interstitielle delesjoner og ringer) proporsjonal med kvadratet av stråledosen D, dvs. F(2) = βD². Samlet er effekten E = αD + βD²(Fig. 2, 3).

Ved å studere effekten av multiple små stråledoser på hud hos mus fant Douglas og Fowler (7) overlevelseskurver som meget vel lot seg beskrive av likningen S = exp(-αD) exp(-βD²) = exp(- (αD + βD²)). For å kunne avlede enkeltcelleoverlevelse ut ifra studier av vev, i dette tilfelle hud, tok Douglas og Fowler utgangspunkt nettopp i target-celle hypotesen (se over).

Senere eksperimenter viste at strålereaksjoner i andre normalvev og svulster også lar seg beskrive med utgangspunkt i LQ-modellen. En mulig biologisk tolkning av modellen er at det eksisterer et for cellen kritiske målpar som kan inaktiveres enten ved én enkelt hendelse (α) eller ved to samvirkende hendelser (β). En nærliggende kandidat for ovennevnte målpar er DNA, med dobbelt trådbrudd (α -skade) som det letale «event». Skader av β-type (enkelt trådbrudd) er reparable. Dersom to enkle trådbrudd inntreffer tilstrekkelig nær hverandre (≤3 basepar) og ikke underkastes reparasjon, vil de kunne resultere i dobbelt trådbrudd.

Figur 4 viser en lineær kvadratisk overlevelseskurve. Den krumme kurven er selve overlevelseskurven, summen av α- og β-leddet. Den rette linjen er kurven S(α) = exp(- αD). Den vertikale avstand fra denne kurven til 100% overlevelse representerer α-bidraget («α-kill»), mens den vertikale avstand til overlevelseskurven representerer β-bidraget («β-kill»). Forholdet (α/β) er et mål for det relative bidraget fra α og β, dvs. overlevelseskurvens grad av krumning. Eksempelvis kan det nevnes at tett ioniserende stråling (høy LET (Linear Energy Transfer)) har et høyere α/β-forhold enn sparsomt ioniserende stråling (lav LET). I overenstemmelse med dette er overlevelseskurvene ved bestråling med α-partikler nærmest rette. Med utgangspunkt i formelen S = exp(-αD) exp(-βD²) ser man at bidraget fra α og β er likt når αD = βD², dvs. D = α/β. α/β er dosen ved hvilken bidraget til celledød fra α- og β-komponenten er likt, derfor har α/β-ratio måleenhet Gy. Den tykke blå pilen i Figur 4 representerer reparasjon av β-skade, dvs. reparasjon av enkle trådbrudd.

Likningen S = exp (-(αD + βD²)), eller ln S = -(αD + βD²) gir overlevelsesfraksjonen ved økende dose under forutsetning av at denne gis kontinuerlig. Dersom den deles i to like store deler (d) som gis med et mellomrom på 4 timer eller mer, så vil det pga. reparasjon av stråleskade måtte bygges opp en ny skulder ved annen gangs bestråling. Dette medfører at effekten av dose 2 blir mindre enn om at denne hadde blitt gitt umiddelbart etter dose 1. Antall overlevende celler etter 2 doser finnes da ved å anvende overlevelsesfunksjonen to ganger:
N_1d = N₀ · S
N_2d = N_1d · S = N₀ · S · S = N₀ · S²

Gis tre like store doser d, gjelder analogt:
N_3d = N_2d · S = N₀ · S² · S = N₀ · S³

Generelt gjelder for n like store doser d:
N_nd = N₀ · Sⁿ

Overlevelsesfraksjonen etter n doser d er da:
S_nd = N_nd/N₀ = Sⁿ = (exp (- (αd + βd²)))ⁿ
ln S_nd = n ln (exp(- (αd + βd²))) = -n (αd + βd²)

Hvis man nå setter -ln Snd = E (total effekt) og dividerer på begge sider av likhetstegnet med den totale dose nd, fåes:
E/(nd) = α + βd
1/(nd) = α/E + (β/E) d
1/(D) = α/E + (β/E) d

Denne formelen gir en lineær sammenheng mellom den inverse totale dose (1/D) og dose per fraksjon (d), og danner det teoretiske grunnlaget for den eksperimentelle bestemmelse av forholdet α/β. I et diagram hvor ordinataksen representerer den inverse totale dose 1/D og abscissen representerer dose per fraksjon (d), vil isoeffektkurven være en rett linje med vinkelkoeffisient β/E som skjærer ordinataksen i α/E (Fig. 5). Man trenger derfor ikke å kjenne E idet denne faller bort ved divisjonen (α/E)/(β/E) = (α/β). Dette såkalte Fe-plot ble introdusert av Douglas og Fowler i 1976 (7). Senere er det innført noe mer omstendelige, men statistisk mer pålitelige metoder (8,9,10).

LQ-modellen ble tatt i bruk i begynnelsen av 1980 årene og har funnet stor anvendelse fordi den med sin enkle matematikk gir en god beskrivelse av de kliniske og eksperimentelle observasjoner i fraksjonsområdet 2-8 Gy. Den største fordelen er dog at forholdet mellom α og β lar seg bestemme ved fraksjoneringsstudier. Dette forhold er vevstype-avhengig og predikerer vevstypens respons på variasjoner i fraksjonsstørrelse. For tidlig og sent responderende normalvev er α/β av størrelsesorden henholdsvis 10 Gy og 3 Gy. α/β-forholdet for svulster viser stor variasjon, fra 1.1 Gy ved prostatakreft (11) til 10.5 Gy for hode/ hals-kreft (12).

Fowler var i hele sin karriere opptatt av å bruke eksperimentelle systemer for bestemmelse av α/β ratio for vev og organer. Han innså viktigheten av dette i strålebehandling av kreft og var av den oppfatning at det fortsatt var en del å hente hva gjaldt optimal strålebehandling av flere kreftformer. Han var spesielt opptatt av det lave α/β ratio for sakte voksende svulster, spesielt prostatakreft, noe som resulterte i flere hypofraksjons studier.

Isoeffektberegninger kan gjøres med utgangspunkt i likningen ln S_nd = -n · (αd₁ + βd₁²). Hvis D₁ = n₁·d₁ er referanse-toleransedosen ved fraksjonsstørrelse d₁, så finner man toleransedosen D₂ = n₂·d₂ ved fraksjonsstørrelse d₂ på følgende måte:
-n₁ · (αd₁ + βd₁²) = -n₂ · (αd₂ + βd₂²)
αD₁ + βD₁d₁ = αD₂ + βD₂d₂
D₁((α/β) + d₁) = D₂((α/β) + d₂)
D₂= D₁ ((α/β) + d₁) / ((α/β) + d₂)

Hvis d₂ >d₁, ser man at reduksjon i D2 blir forholdsvis større ved lave en ved høye α/β forhold, dvs. sent responderende normalvev er mer avhengig av fraksjonsstørrelsen enn tidlig responderende normalvev.

Man kommer til samme konklusjon ved å betrakte dose/respons-kurver for hhv. tidlig og sent responderende normalvev. På grunn av lavt α/β forhold så vil dose/respons-kurven krumme mer for sent enn for tidlig responderende normalvev. En gitt fraksjonsdose vil derfor inaktivere flere sent enn tidlig responderende targetceller, med økt fraksjonsstørrelse avhengighet til følge.

En vanlig problemstilling er å finne ekvivalent dose i 2-Gy fraksjoner (EQD2) for en dose D gitt med fraksjonsstørrelse (d). Den er gitt ved: EQD₂ = D · [(α/β) + d) / ((α/β) + 2)]

I sin opprinnelige form tar ikke LQmodellen hensyn til celleproliferasjon under behandling. Det finnes modifiserte LQ-modeller som inkludere proliferasjonsfaktorer, men disse omtales ikke her.

I en alder av 89 år publiserte Fowler en bok med tittel «Optimum overall treatment time in radiation oncology», med undertittel How to stop worrying about time-dose evaluations and learn to love linear quadratics. Boken er en oppsummering av sentrale begreper relatert til optimal fraksjonering av stråleterapi, noe som opptok han i hele hans karriere. Da resultatet av DAHANCA 6&7 studiene forelå (13) uttalte han at:” Meanwhile, the currently suggested good practice for H&N cancer appears to be 6 fractions of 2 Gy per week to a total dose of 66-68 Gy in an overall time just under 6 weeks” (14). Dette har siden vært vanlig praksis ved Radiumhospitalet.

Fowler ble tildelt mange utmerkelser: ESTROs Breur Medal, Juan del Regato Gold Medal, Gold Medal of Gilbert Fletcher Society og ASTROs Gold medal for å nevne noen.

Referanser:

1. Evensen JF: Magnus Strandqvist og hans fraksjoneringsdiagram. Onkonytt 2020; No. 2: 74-77.
2. Evensen JF: Frank Ellis og hans NSD formel. Onkonytt 2021; No. 1: 46-51
3. Fowler JF: The linear-quadratic formula and progress in fractionated radiotherapy. Brit J Radiol 1989; 62: 679-694
4. Dertinger H, Jung H. Molecular radiation biology. Springer-Verlag New York, Heidelberg, Berlin 1970
5. Yaes RJ, Patel P, Maruyama Y: On using the linear-quadratic model in daily clinical practice: Int J Radiat. Biol. Phys. 1991; 20:1353-1362
6. Lea DE, Catcheside DG: The mechanism of the induction by radiation on chromosome aberrations in tradescantia. Genet 1942; 44: 216-245.
7. Douglas BG, Fowler JF: The effect of multiple small doses of X-rays on skin reaction in the mouse and a basic interpretation. Radiat Res. 1976; 66: 401-426
8. De Boer RW: The use of the D versus dD plot to estimate the α/β ratio from iso-effect radiation damage data. Radiotherapy and Oncology 1988; 11: 361-367
9. M.G. Taylor & D.K. Kim: The Poor Statistical Properties of the Fe-plot. Int J of Radiation Biology 1989; 56: 161-167
10. Tucker SL: Tests for the fit of the linear-quadratic model to radiation isoeffect data. Int J Radiat. Oncol. Biol. Phys. 1984; 10: 1933-1939
11. Bentzen SM, Ritter MA: The alpha/beta ratio for prostate cancer: what is it, really? Radiotherapy Oncology 2005; 76: 1-3
12. Stuschke M, Thames H: Fractionation sensitivities and dose-control relations of head and neck carcinomas: analysis of the randomized hyperfractionation trials. Radiotherapy and Oncology 1999; 51: 113-121
13. Overgaard J, Hansen HS, Specht L et al.: Five compared with six fractions per week of conventional radiotherapy of squamous-cell carcinoma of head and neck: DAHANCA 6&7 randomised controlled trial. The Lancet 2003; 362: 933-940.
14. Fowler J: Biological Factors Influencing Optimum Fractionation in Radiation Therapy. Acta Oncologica 2001; 40: 712-717